斜齿轮、圆柱滚花的螺旋线方程详解

　　Pro/E绘图很多时候要用到圆柱螺旋线，如斜齿轮、圆柱咬花。网上很多教程直接以草绘投影的方法就当螺旋线用，其实是不正确。
　　说圆柱螺旋线，首先来个定义：一动点在圆柱面上绕圆柱轴线作匀速旋转运动，同时又沿轴向作匀速直线运动，该动点的轨迹称为圆柱螺旋线。举个例子：把一张直角三角形的纸卷到一个圆筒上，斜边在圆柱面成了一条圆柱螺旋线了。

　　下面以斜45度的圆柱咬花为例，简述螺旋线的方程的推导。
　　假想将下面立体图中的粉红色面展开成平面，根据圆柱螺旋线的定义可知展开的图案必定是下图右边所示的45度直角三角形。

Pro/E中极坐标方程的一般式：
/* 对笛卡儿坐标系，输入参数方程
/* 根据t (将从0变到1)对r, theta和z
/* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点
/* 半径 = 4，参数方程将是:
/* r = 4
/* theta = t * 360
/* z = 0
/*-----------------------------------------

　　螺旋线是r不变，theta、z随动点的变化而相应变化，因此方程的关键是Roll（即方程的theta）与t关系、 H（即方程的z）与t的关系。
Roll最大值 = (H*tan45)/(pi*d)*360 = H/(pi*d)*360
z最大值 = H

方程出来了： 　　r = d/2 　　theta = H/(pi*d)*360*t 　　z = H*t 结果如右图红色螺旋线，端点在TOP基准上。较理想右图绿色螺旋线的中点在TOP基准上，方便后继镜像。

想想吧，只要红色螺旋线再旋转（Roll最大值/2）度，即是绿色螺旋线了，因此将方程修改一下：

Roll = H/(pi*d)*360
r = d/2
theta = Roll*t-Roll/2
z = H*t

　　上面方程中引入一个临时变量Roll，可使方程更直观、方便。回到圆柱咬花实例中，代入各项尺寸代码（参数化的图形应该尽量以尺寸代号编写方程，勿直接输入直径、高度的具体数值，这是一个良好的绘图习惯），最终方程为：

Roll=d13/(pi*d12)*360
r=d12/2
theta=t*Roll-Roll/2
z=t*d13

　　更为复杂的变化就是斜齿轮的螺旋线，其中的齿厚（FACE_WIDTH）、压力角（HELIX_ANGLE）均为变量，需要在INPUT中指定。另外还要判断齿轮旋向是左旋还是右旋（HELIX_DIRECTION）。这里就只作简单解释，先看INPUT的内容：

INPUT
TOOTH_NUMBER NUMBER
"Enter the number of teeth: "
MODULE NUMBER
"Enter the module: "
PRESSURE_ANGLE NUMBER
"Enter the pressure angle: "
HELIX_ANGLE NUMBER
"Enter the helix angle: "
HELIX_DIRECTION YES_NO
"Select the Left or Right direction (YES=Left-side / NO=Right-side): "
FACE_WIDTH NUMBER
"Enter the face width: "
END INPUT

　　上面定义了斜齿轮的必要参数:齿数（TOOTH_NUMBER）、模数（MODULE）、压力角（PRESSURE_ANGLE）、螺旋角（HELIX_ANGLE）、齿轮旋向（HELIX_DIRECTION，选择YES是左旋，选择NO是右旋）、齿厚（FACE_WIDTH）

　　再看RELATIONS的内容（只列举有关于螺旋线的部分）：

RELATIONS
……
PITCH_RAD = TOOTH_NUMBER*MODULE/2
……
IF HELIX_DIRECTION==YES
TOOTH_HELIX = FACE_WIDTH*TAN(HELIX_ANGLE)/PITCH_RAD*(180/PI)
ELSE
TOOTH_HELIX = -FACE_WIDTH*TAN(HELIX_ANGLE)/PITCH_RAD*(180/PI)
ENDIF
……
END RELATIONS

　　上面关系式中PITCH_RAD为分度圆的半径，用“IF…… ELSE……ENDIF”语句判断齿轮旋向，决定变量TOOTH_HELIX的值是正还是负，正值逆时针变化，负值顺时针变化，配合z的负向变化，使螺旋线相应变成左旋或是右旋。

　　斜齿轮螺旋线的方程为（以分度圆柱为螺旋线圆柱面）：

r=PITCH_RAD
theta=t*TOOTH_HELIX-TOOTH_HELIX/2+90
z=FACE_WIDTH/2-t*FACE_WIDTH

　　上面方程跟上上上面的基本一至，theta多了个“+90”，目的是将螺旋线放至12点钟方向。而z是负向变化的，所以是“-t*FACE_WIDTH”，加入“FACE_WIDTH/2”目的是使螺旋线中点在FRONT基准平面上。方程的结果是螺旋线的中点同时在FRONT、RIGHT（如果没有“+90”，即是TOP）基准面上。
　　最后提提，此螺旋线还能用变截面扫描配合关系式得出，但此处就不在说了，多谢指教。